Dues demostracions curioses

Bé, les demostracions que us ensenyaré no és que m’agradin per la seva elegància ni res d’això, m’agraden perquè demostren el què pel sol fet de fer servir molt no ens preguntem d’on ve.

Així doncs:

Primera demostració: Teorema de Pitàgores

Fa temps ja vaig escriure una demostració d’aquest teorema, bé, avui en toca una altra que també és curiosa.

Fixeu-vos en la figura:

La demostració consisteix en calcular l’àrea de la figura de dues maneres diferents, igualar-les perquè és la mateixa àrea i simplificar.

La primera manera de calcular l’àrea és considerant que és (x+y)(x+y), tant senzill com agafar un costat com la suma de x i y i multiplicar perquè és un quadrat.

La segona manera és més interessant, s’agafa l’àrea del quadrat vermell que és r^2 i se li sumen les àrees dels quatre triangles que són (xy)/2.

Així doncs tenim que l’àrea també és r^2+4(xy)/2 Si igualem tenim que: (x+y)(x+y)=r^2+4(xy)/2. Desenvolupem a l’esquerra i simplifiquem a la dreta i: x^2+2xy+y^2=r^2+2xy.

Simplifiquem el 2xy que està a cada cantó de l’igualtat i… r^2=x^2+y^2

El teorema de Pitàgores!

Segona demostració: sin^2(x)+cos^2(x)=1

Aquesta identitat trigonomètrica tant utilitzada es pot demostrar a partir del teorema de Pitàgores, considereu aquest triangle on el costat c mesura la unitat.

Pel teorema de Pitàgores és obvi que: c^2=a^2+b^2.

Si us hi fixeu cos(x)=b/c=b/1=b i sin(x)=a/c=a/1=a.

Així doncs, si substituïm b=cos(x), a=sin(x) i c=1 arribem a: 1^2=sin^2(x)+cos^2(x) .

I així queda demostrada una de les tres identitats pitagòriques.

La bella identitat d’Euler

La identitat d’Euler és una formula desenvolupada per Leonhard Euler i, en la meva opinió, és fascinant. Per sort no sóc l’únic boig, una enquesta a la revista Mathematical Intelligencer va considerar aquesta equació el teorema més bonic de les matemàtiques i el 2004 una altra enquesta a Physics World va considerar aquesta equació “la millor equació mai vista”, junt amb les equacions de Maxwell.

Però què té aquesta equació que la faci tant especial?

Doncs tot, ho té absolutament tot:

• Relaciona els cinc nombres més utilitzats en la història de les matemàtiques.
• Ens els mostra amb ordre històric de dreta a esquerra.
• Tres operacions aritmètiques hi apareixen alhora: la suma, la multiplicació i l’exponenciació.

En primer lloc, la identitat d’Euler és:

on:

• Pi és el nombre més important de la geometria.

• e és el nombre més important de l’anàlisi matemàtic.

• i és el nombre més important de l’àlgebra.

• 0 i 1 són les bases de l’aritmètica pel fet de ser els elements neutres de la suma i del producte.

Com veieu apareixen els cinc nombres més usats de les matemàtiques i tres operacions aritmètiques, però… on està el passeig del qual us parlava?

Doncs bé, començant per la dreta tenim un 1, el qual representa els nombres naturals (0,1,2,3…), coneguts des de la prehistòria per la seva utilitat per comptar.

A l’esquerra del 1 tenim un signe -, el qual representa l’aparició dels nombres negatius (…-3,-2,-1) que, junt amb els naturals, forma els enters.

A l’esquerra, saltant-nos els racionals, ens hi trobem e i pi que, dos irracionals que, junt amb els racionals d’abans representa els nombres reals.

Finalment, ens trobem amb la i, un nombre imaginari, obtenint junt amb els reals els nombres complexos.

Interessant equació

El teorema de Pitàgores

El teorema de Pitàgores ja s’usava abans de l’escola pitagòrica a la Mesopotàmia i a l’Antic Egipte; tot i així se l’anomena teorema de Pitàgores perquè l’escola Pitagòrica va ser la primera en demostrar-lo formalment.

Per si de cas algú no el coneix, el Teorema de Pitàgores estableix que, en un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels dos catets. Sent a i b els catets d’un triangle i la hipotenusa c s’anuncia així:

Però, a més a més, el Teorema de Pitàgores té la pecularitat de ser un dels teoremes amb demostracions més diverses (al voltant de 1000 segons alguns autors). Això és així perquè en algunes escoles de l’edat mitjana, per aconseguir el grau de mestre o Magíster matheseos, s’exigia un gran coneixement del teorema alhora que l’exhibició d’una nova i original demostració.

Però de la demostració que us vull parlar és de la que va fer Einstein amb només 11 anys; resulta que el seu tiet li va ensenyar la demostració d’Euclides i a Einstein no li va acabar de fer el pes degut a la seva complexitat, és per això que va idear la seva nova i elegant demostració (es difícil de definir què es una demostració elegant, però en línies generals podem considerar que és aquella solució que desitjaries que se t’hagués ocorregut a tu).

La solució que va proposar Einstein, tot i que es diu que més que idear-la ell la va reidear sense saber-ho perquè ja s’havia fet amb anterioritat, és la següent:

En un triangle rectangle qualsevol, com per exemple el que us he dibuixat a continuació, tracem una altura i aconseguim dos triangles rectangles. El de l’esquerra té per hipotenusa a i àrea Sa, i el de la dreta té per hipotenusa b i àrea Sb. El triangle original té, òbviament, hipotenusa c i àrea Sc.

Com es veu fàcilment fent un petit trencaclosques, els tres triangles que tenim són semblants (mateixa forma, diferent mida). A més a més, a l’espai euclidià l’àrea de qualsevol figura geomètrica és proporcional al quadrat de la seva dimensió lineal, perquè ens entenguem, l’àrea d’una recta és L, la d’un quadrat és L^2 i la d’un cub (volum) és L^3. Saben això podem definir les àrees dels tres subtriangles com a:

On les tres k són tres constants iguals en les tres equacions perquè els tres triangles són semblants.

A més a més, si sumem les àrees del triangle dividit anteriorment, és obvi que:

I si substituïm aquí les tres fórmules anteriors obtenim:

On les tres k se simplifiquen i obtenim…

…el Teorema de Pitàgores!

I el cert és que la bellesa d’aquesta solució no rau només amb la seva senzillesa sinó també en que es basa en la pròpia essència del teorema de Pitàgores: és una conseqüència de que les àrees escalin amb el quadrat de les longituds, el què va fer Einstein amb només 11 anys va ser el procés invers fins arribar a la demostració. Sorprenent!

Font: La demostració l’he extreta d’aquest blog i l’he passada a Latex, la informació l’he trobada per diverses webs.

Problemes oberts de les matemàtiques (i un milió de dolars)

En matemàtiques hi ha diversos problemes oberts, és a dir, problemes correctament plantejats i que se’n sap que existeix la solució, però que encara no ha pogut ser trobada.

Dels problemes no resolts matemàtics n’hi ha set que s’anomenen els Set Problemes del Mil·leni i que l’Institut Clay de Matemàtiques de Cambridge, Massachusetts; premiarà amb un milió de dòlars a qui en resolgui algun.

N’hi ha alguns que a dures penes entenc què demanen, però n’hi ha un que malgrat no ser un dels Set Problemes del Mil·leni em fascina bastant: la Conjectura de Goldbach.

Aquesta conjectura, que afirma que tot nombre enter parell igual o superior a 4 es pot escriure com a suma de dos nombres primers és un dels problemes matemàtics oberts més antics pertanyent a la teoria dels nombres, la branca de les matemàtiques pures que estudia les propietats dels nombres enters i que planteja problemes fàcilment compresos pels no entenedors de les matemàtics.

Malgrat que la Conjectura de Goldbach és molt fàcil de comprovar pels primers nombres…

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7

Des del 1742 que fou plantejada pel matemàtic prussià Christian Goldbach que no s’ha aconseguit resoldre.

Potser morirem que aquesta simple proposició no s’haurà comprovat, potser es resoldrà demà; el què és cert és que sembla que la Hipòtesi de Riemann (un dels Set Problemes del Mileni) pot estar solucionada des d’avui, dia en que Xian-Jin Li a pujat un article a arXiv on prova la hipòtesi de Riemann i que està sent verificat. Qui sap si s’endurà el milió de dòlars?

* Recomano el llibre El tío Petros y la conjetura de Goldbach, d’Apostolos Doxiadis. És una novel·la que t’apropa als grans matemàtics i com interaccionen amb el món, amb l’excusa de la Conjectura de Goldbach .

Com trobar el nombre Pi amb una tarrina de Cds, cinta adhesiva i un regle

Aquesta tarda pretenia ser una tarda d’estudi per la selectivitat i ja veureu com ha acabat.

Demanant-li un dubte al meu germà m’ha explicat com trobar el valor del nombre “només” amb un cilindre, cinta adhesiva i un regle.

Partint de la fórmula de la longitud del perímetre de la circumferència:

Que és aquesta perquè amb radiants és una volta sencera a la circumferència, i ho hem de multiplicar pel radi ja que no és una circumferència goniomètrica (radi 1).

A partir d’aquesta fórmula aillem el que volem trobar i, per estrany que ens sembli, aïllem :

Trobem la longitud del perímetre de la circumferència, jo he utilitzat una tarrina de CDs i cinta adhesiva:

Veiem que dóna 40cm.

Fet això trobem el radi, mesuro el diametre:

I dividint-lo per dos obtinc el radi:

Finalment substituïm a la fórmula on abans hem aïllat L per 40cm i r per 6,35 i taxàn!

Llàstima que ho hagi fet aquesta tarda enlloc d’abans del 240aC, data en que Arquimedes ja va aplicar aquest mètode per trobar el valor de Pi. Si hagués estat així hauria estat besado por las reinas de la belleza com el Náufrago de Gabriel García Márquez