Bé, les demostracions que us ensenyaré no és que m’agradin per la seva elegància ni res d’això, m’agraden perquè demostren el què pel sol fet de fer servir molt no ens preguntem d’on ve.
Així doncs:
Primera demostració: Teorema de Pitàgores
Fa temps ja vaig escriure una demostració d’aquest teorema, bé, avui en toca una altra que també és curiosa.
Fixeu-vos en la figura:
La demostració consisteix en calcular l’àrea de la figura de dues maneres diferents, igualar-les perquè és la mateixa àrea i simplificar.
La primera manera de calcular l’àrea és considerant que és (x+y)(x+y), tant senzill com agafar un costat com la suma de x i y i multiplicar perquè és un quadrat.
La segona manera és més interessant, s’agafa l’àrea del quadrat vermell que és r^2 i se li sumen les àrees dels quatre triangles que són (xy)/2.
Així doncs tenim que l’àrea també és r^2+4(xy)/2 Si igualem tenim que: (x+y)(x+y)=r^2+4(xy)/2. Desenvolupem a l’esquerra i simplifiquem a la dreta i: x^2+2xy+y^2=r^2+2xy.
Simplifiquem el 2xy que està a cada cantó de l’igualtat i… r^2=x^2+y^2
El teorema de Pitàgores!
Segona demostració: sin^2(x)+cos^2(x)=1
Aquesta identitat trigonomètrica tant utilitzada es pot demostrar a partir del teorema de Pitàgores, considereu aquest triangle on el costat c mesura la unitat.
Pel teorema de Pitàgores és obvi que: c^2=a^2+b^2.
Si us hi fixeu cos(x)=b/c=b/1=b i sin(x)=a/c=a/1=a.
Així doncs, si substituïm b=cos(x), a=sin(x) i c=1 arribem a: 1^2=sin^2(x)+cos^2(x) .
I així queda demostrada una de les tres identitats pitagòriques.
Publicat per pinucset 