El teorema de Pitàgores

El teorema de Pitàgores ja s’usava abans de l’escola pitagòrica a la Mesopotàmia i a l’Antic Egipte; tot i així se l’anomena teorema de Pitàgores perquè l’escola Pitagòrica va ser la primera en demostrar-lo formalment.

Per si de cas algú no el coneix, el Teorema de Pitàgores estableix que, en un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels dos catets. Sent a i b els catets d’un triangle i la hipotenusa c s’anuncia així:

Però, a més a més, el Teorema de Pitàgores té la pecularitat de ser un dels teoremes amb demostracions més diverses (al voltant de 1000 segons alguns autors). Això és així perquè en algunes escoles de l’edat mitjana, per aconseguir el grau de mestre o Magíster matheseos, s’exigia un gran coneixement del teorema alhora que l’exhibició d’una nova i original demostració.

Però de la demostració que us vull parlar és de la que va fer Einstein amb només 11 anys; resulta que el seu tiet li va ensenyar la demostració d’Euclides i a Einstein no li va acabar de fer el pes degut a la seva complexitat, és per això que va idear la seva nova i elegant demostració (es difícil de definir què es una demostració elegant, però en línies generals podem considerar que és aquella solució que desitjaries que se t’hagués ocorregut a tu).

La solució que va proposar Einstein, tot i que es diu que més que idear-la ell la va reidear sense saber-ho perquè ja s’havia fet amb anterioritat, és la següent:

En un triangle rectangle qualsevol, com per exemple el que us he dibuixat a continuació, tracem una altura i aconseguim dos triangles rectangles. El de l’esquerra té per hipotenusa a i àrea Sa, i el de la dreta té per hipotenusa b i àrea Sb. El triangle original té, òbviament, hipotenusa c i àrea Sc.

Com es veu fàcilment fent un petit trencaclosques, els tres triangles que tenim són semblants (mateixa forma, diferent mida). A més a més, a l’espai euclidià l’àrea de qualsevol figura geomètrica és proporcional al quadrat de la seva dimensió lineal, perquè ens entenguem, l’àrea d’una recta és L, la d’un quadrat és L^2 i la d’un cub (volum) és L^3. Saben això podem definir les àrees dels tres subtriangles com a:

On les tres k són tres constants iguals en les tres equacions perquè els tres triangles són semblants.

A més a més, si sumem les àrees del triangle dividit anteriorment, és obvi que:

I si substituïm aquí les tres fórmules anteriors obtenim:

On les tres k se simplifiquen i obtenim…

…el Teorema de Pitàgores!

I el cert és que la bellesa d’aquesta solució no rau només amb la seva senzillesa sinó també en que es basa en la pròpia essència del teorema de Pitàgores: és una conseqüència de que les àrees escalin amb el quadrat de les longituds, el què va fer Einstein amb només 11 anys va ser el procés invers fins arribar a la demostració. Sorprenent!

Font: La demostració l’he extreta d’aquest blog i l’he passada a Latex, la informació l’he trobada per diverses webs.