El triomf del Facebook

El Facebook ha triomfat, ja he fet tard per a fer un article preveient si triomfarà o no i tampoc m’agrada fer previsions de futur.

El què vull comentar és per què està triomfant, al meu parer està triomfant perquè acompleix a la perfecció les dues més grans necessitats dels qui ens trobem en una posició molt elevada dins de la piràmide de Maslow. 

Aquestes dues necessitats són les de xafardejar i les de fardar.

Sí, ens agrada xafardejar, alguns xafardegem escudant-nos en el conegut “la informació és poder” de Bacon i d’altres menys hipòcrites xafardegen pel sol fet de xafardejar. És gairebé angoixant veure un grup de noies en un mateix Facebook explotant cada detall de cada foto de cada “amic” i sí, ho fan durant hores.

Però també ens agrada molt fardar, és inevitable, som animals i ens agrada tirar-nos farols tal com si fóssim paons. Ens agrada demostrar com de forts i caxondos som. Però això fa del Facebook un lloc, al meu parer, molt hipòcrita. Si us poseu a xafardejar veureu que tothom mostra el seu cantó cool de la vida, allò que ens agrada ensenyar perquè a tothom li agradaria ser i tenir 24/7 però que poca gent aconsegueix més enllà del dissabte (el diumenge no compte pel mal de cap).

Però si només fos això el Facebook no seria res més que l’evolució tecnològica d’un grup d’homes al bar i de dones a la peluqueria, el Facebook combina les dues reunions i permet… lligar (o si més no intentar-ho).

No aneu al sol al migdia que pica més!

Quantes vegades haurem sentit aquesta frase? Fa molts anys gràcies a les nostres mares que no volien tenir fills-gamba i fa menys anys gràcies als fantàstics plans de la Generalitat.

Doncs bé, el motiu pel qual el Sol pica més al migdia és simplement perquè està perpendicular a nosaltres, és a dir, si ens estirem a la platja al migdia i mirem amunt just a sobre nostre tenim el Sol.

Ara bé, quin és el motiu que relaciona la perpendicularitat amb el topless?

El motiu és força simple i penso que en aquest cas val més una imatge que mil paraules:

Com veieu a la imatge, quan els rajos incideixen perpendiculars (o més perpendiculars) l’energia es reparteix en una àrea inferior que no pas quan el Sol no ens està perpendicular. De manera que al migdia prenem el Sol concentrat com amb una lupa i, per tant, pica més.

Dues demostracions curioses

Bé, les demostracions que us ensenyaré no és que m’agradin per la seva elegància ni res d’això, m’agraden perquè demostren el què pel sol fet de fer servir molt no ens preguntem d’on ve.

Així doncs:

Primera demostració: Teorema de Pitàgores

Fa temps ja vaig escriure una demostració d’aquest teorema, bé, avui en toca una altra que també és curiosa.

Fixeu-vos en la figura:

La demostració consisteix en calcular l’àrea de la figura de dues maneres diferents, igualar-les perquè és la mateixa àrea i simplificar.

La primera manera de calcular l’àrea és considerant que és (x+y)(x+y), tant senzill com agafar un costat com la suma de x i y i multiplicar perquè és un quadrat.

La segona manera és més interessant, s’agafa l’àrea del quadrat vermell que és r^2 i se li sumen les àrees dels quatre triangles que són (xy)/2.

Així doncs tenim que l’àrea també és r^2+4(xy)/2 Si igualem tenim que: (x+y)(x+y)=r^2+4(xy)/2. Desenvolupem a l’esquerra i simplifiquem a la dreta i: x^2+2xy+y^2=r^2+2xy.

Simplifiquem el 2xy que està a cada cantó de l’igualtat i… r^2=x^2+y^2

El teorema de Pitàgores!

Segona demostració: sin^2(x)+cos^2(x)=1

Aquesta identitat trigonomètrica tant utilitzada es pot demostrar a partir del teorema de Pitàgores, considereu aquest triangle on el costat c mesura la unitat.

Pel teorema de Pitàgores és obvi que: c^2=a^2+b^2.

Si us hi fixeu cos(x)=b/c=b/1=b i sin(x)=a/c=a/1=a.

Així doncs, si substituïm b=cos(x), a=sin(x) i c=1 arribem a: 1^2=sin^2(x)+cos^2(x) .

I així queda demostrada una de les tres identitats pitagòriques.

Què és l’ebullició?

L’ebullició és un fenòmen que no pel fet d’haver-lo vist mil vegades és menys interessant, tot el contrari! Ara bé, per entendre’l cal saber una sèrie de coses abans, així que comencem pel començament.

Tots sabem que l’aigua s’evapora, si deixem un plat amb aigua al sol durant el temps suficient aquesta aigua “desapareixerà”, o molt millor dit, aquesta aigua s’evaporarà passant de líquid a vapor.

Però, per què s’ha evaporat aquesta aigua?

Imagineu-vos l’aigua com a una gran quantitat de mol·lècules que es mouen aleatòriament. Un got d’aigua sembla que no es mogui, però si el poguéssim mirar amb un microscopi molt potent veuríem que les mol·lècules del líquid no paren de córrer amunt i avall, sense ordre ni concert i canviant de direcció només quan col·lisionen entre elles o amb les parets.

No és res estrany que una mol·lècula corri ràpidament cap a la superfície i hi impacti amb suficient energia com per escapar del líquid i esdevenir vapor: aquesta mol·lècula s’haurà evaporat.

Imagineu-vos ara aigua en un recipient tancat on n’hem fet el buit (és a dir, pressió 0) i on hi hem col·locat un manòmetre per medir la pressió. El què passarà és sorprenent però si heu entès el què acabo d’explicar és força obvi.

A mesura que passi el temps la pressió que ens mostra el manòmetre anirà pujant, el motiu és simple: el líquid està evaporant-se i cada cop hi ha més vapor fent pressió (xocant) amb les parets del recipient.

Però arribarà un punt on la pressió s’estabilitzarà i deixarà de pujar, per què? El protagonista d’aquest segon fenòmen és la condensació: el fenòmen contrari a l’evaporació, imagineu-vos el recipient, a sobre de l’aigua hi ha tot el vapor d’aigua que s’ha evaporat, format per moltes mol·lècules d’aigua que es mouen aleatòriament. No sembla descabellat pensar que alguna d’aquestes mol·lècules pot impactar amb l’aigua i quedar-hi atrapada: aquesta mol·lècula haurà condensat, o el que és el mateix, haurà passat de vapor a líquid.

I el cert és que això passa, quan la pressió deixa de pujar no significa que no s’evaporin més mol·lècules: significa que s’evaporen tantes mol·lècules com en condensen, de manera que als nostres ulls no passa res però a dins del recipient s’hi està produint evaporació i condensació.

Doncs bé, aquesta pressió “màxima” s’anomena pressió de vapor i és característica de cada substància a cada temperatura. En les substàncies més volàtils (com ara l’alcohol) la pressió de vapor és superior perquè les mol·lècules estan menys aferrades entre elles. D’altra banda, aquesta pressió augmenta amb la temperatura, el motiu és simple, quan escalfem un líquid li donem energia, és a dir, fem que les mol·lècules del líquid corrin més, i el fet de fer que corrin més fa que més mol·lècules arribin a la superfície del líquid amb suficient energia (velocitat) com per escapar-ne i evaporar-se.

Doncs bé, entesos aquests conceptes ja podeu entendre què és l’ebullició.

Torneu-vos a imaginar un líquid, aquest cop en una olla. Com ja sabeu, les mol·lècules del líquid es mouen aleatòriament, amunt i avall, amunt i avall… però de cop i volta, per capritxos de l’atzar, tot de mol·lècules col·lisionen en un sol punt i se n’allunyen ràpidament: durant uns breus instants de temps en aquest punt del líquid s’hi farà un petitíssim forat on no hi haurà aigua!

I ara ve l’interessant: aquest forat buit a dins del líquid és el mateix que el nostre recipient tancat amb aigua de dins: les mol·lècules d’aigua líquida del voltant d’aquest forat poden evaporar-se a dins d’aquest forat i omplir-lo de vapor d’aigua.

A temperatures baixes les pressions de vapor de l’aigua són molt baixes, de manera que la pressió atmosfèrica explota aquests forats. Però si escalfem la nostra aigua la pressió de vapor d’aquesta augmenta, de manera que cada cop hi ha més vapor a dins d’aquests forats de buit.

Si escalfem suficientment el nostre líquid arribarà un moment on aquests forats buits que s’hi fan tinguin suficient pressió com per aguantar la pressió atmosfèrica. Quan la temperatura del líquid arribi a aquesta pressió el líquid començarà a bullir!

En el cas de l’aigua, la temperatura que fa que la pressió a dins d’aquestes bombolles sigui d’una atmosfera és… sí! 100°C! És per això que l’aigua bull a 100°C, a menors temperatures els forats de buit no arriben a una pressió suficient per sobreviure a la pressió atmosfèrica.

Espero que tot plegat us hagi sorprès tant com quan m’ho van explicar a classe fa un parell de setmanes

La ràpida lentitud de l’electricitat

Quan premem un interruptor per encendre un llum, a dins del cable s’hi succeeix un flux de càrregues que constitueix el què anomenem corrent elèctric. Fins aquí res de nou, però si us demanessin a quina velocitat van aquestes càrregues segurament diríeu que molt ràpid, al fi i al cap, premem l’interruptor i el llum s’engega instantàniament.

Però el cert és que aquestes càrregues es mouen molt més lentament del què ens pensem.

En cables normals les càrregues que transporten l’electricitat són electrons i es desplacen a només 3,6 centímetres per hora.

Així doncs, com pot ser que premem l’interruptor i el llum s’engegui tant ràpidament? Si el cable fa dos metres els primers electrons haurien d’arribar al cap d’unes 55 hores!

Certament sembla paradoxal, però una analogia amb l’aigua d’una mànega ho pot clarificar molt. Quan donem pas a una mànega de reg, llarga i inicialment buida, l’aigua triga uns quants segons en sortir perquè ha de recórrer tota la manguera. Això no obstant, si la mànega ja està plena d’aigua, aquesta emergeix quasi instantàniament degut a la pressió que fa l’aigua que entra per l’aixeta, que empeny la porció d’aigua de davant i aquesta la de davant i així successivament fins que l’aigua emergeix. Aquesta velocitat s’anomena velocitat de propagació i en el cas de la mànega és la velocitat del so en l’aigua, uns 1.500m/s

Anàlogament, quan premem un interruptor per engegar un llum, un camp elèctric es propaga al llarg de tot el cable a una velocitat propera a la de la llum i els electrons del cable adquireixen gairebé immediatament aquesta velocitat. Així doncs, la càrrega que “entra” a la bombeta és automàticament reemplaçada per una altra càrrega que entra a l’altre extrem del cable, més o menys com en el cas de la mànega però amb electrons enlloc de amb porcions d’aigua.

Així doncs, el trànsit de càrregues per un cable ens l’hem d’imaginar, no com a unes poques càrregues que van molt ràpides, sinó com a una gran quantitat de càrregues que es desplacen lentament però amb una velocitat de propagació molt alta.

Selecció natural

Entonces aquellos miembros de la población con características menos adaptadas (según lo determine su medio ambiente) morirán con mayor probabilidad. Entonces aquellos miembros con características mejor adaptadas sobrevivirán más probablemente. Darwin, L’origen de les espècies.

Los hombres con menor nivel educativo fuman más y suponen el 78% de los enfermos de cáncer de pulmón, según un estudio.

Limitacions tècniques i naturals (velocitat de la llum i principi d’incertesa de Heisenberg)

NOTA: He fet algunes simplificacions que em fan esgarrifar a mi i tot, si saps del tema el millor és que no llegeixis res d’aquí perquè podries arribar a arrencar-te els ulls.

Tot sovint sento alguns comentaris que confonen les limitacions tècniques amb les intrínseques de la natura, he explicat el tema en resposta a algun comentari, però penso que dóna prou de sí com per a fer-ne una entrada.

En primer lloc, una limitació tècnica és aquella que podríem superar si tinguéssim la tecnologia suficient, una limitació de la natura és aquella contra la qual no hi podem fer res.

Per exemple, una limitació tècnica és que un cotxe no superi els 180 km/h, se’l pot millorar o se’l pot canviar per un de millor i superar els 180 km/h. Una limitació de la natura és que és impossible que el cotxe superi la velocitat de la llum en el buit (300.000 km/s).

La impossibilitat de superar la velocitat de la llum

Einstein.

El fet que un objecte tingui massa fa que sigui impossible que arribi a la velocitat de la llum o la superi, els motius pels qual no es pot superar la velocitat de la llum són essencialment dos:

• Com diu la Teoria Especial de la Relativitat d’Einstein, quan un cos augmenta la seva velocitat augmenta la seva massa. El problema és que a velocitats properes a la de la llum la massa del cos seria infinita, de manera que faria falta una energia infinita per acabar-lo de fer arribar a la velocitat de la llum. Impossible.

• El segon motiu, més abstracte, es basa en que si superéssim la velocitat de la llum trencaríem la causalitat de l’univers. Les interaccions físiques de la natura es transmeten a la velocitat de la llum gràcies a unes partícules sense massa anomenades bossons, si aconseguíssim anar a una velocitat superior a la de la llum els efectes de les causes passarien abans que les pròpies causes, perquè la velocitat de la causa hauria superat la velocitat de l’efecte. Això provocaria bucles en el temps i demès, deixe-m’ho en què la liariem parda.

És per aquests dos motius que no es pot superar la velocitat de la llum, és completament impossible, no és que puguem fer motors millors i superar-la, és que una “limitació” de l’univers és aquesta.

El principi d’incertesa de Heisenberg

Heisenberg.

Però hi ha més limitacions a la naturalesa! Segons el Principi d’incertesa de Heisenberg, no es pot determinar simultàniament i amb una precisió arbitrària, la posició i la velocitat d’un objecte determinat. A escala macroscòpica tenim pocs problemes al moure’s tot molt lentament, per exemple, si determinem la posició d’una bola de billar de 200g amb un error de +- 0,0000005 m la incertesa generada respecte a la seva velocitat serà de 0,0000000000000000000000000018 km/h, em preocupa ben poc. En canvi, si determinem la posició d’un electró amb la mateixa precisió, la incertesa generada respecte a la seva velocitat serà de 417,492 km/h, és a dir, no tindrem ni idea de a quina velocitat va.

Quan Heisenberg va publicar aquests resultats molts físics van creure que aquests errors disminuirien a mesura que milloressin els instruments de mesura, estaven equivocats i Heisenberg els ho va fer intentar fer veure mitjançant un experiment mental que a mi em sembla molt curiós:

En primer lloc, per a veure alguna cosa fa falta una radiació d’una longitud d’ona menor que l’objecte, perquè ens entenguem, no podríem veure un llapis amb longituds d’ona d’un kilòmetre perquè ni tant sols el detectarien i no ens podrien tornar reflectades.

De més a menys longitud d'ona.

Conscient d’això, Heisenberg imagina el microscopi més potent imaginable, un microscopi que pogués fer-nos veure un electró. Aquest microscopi funcionaria amb rajos gamma, una radiació electromagnètica d’una longitud d’ona 5000 vegades més petita que la longitud d’ona més petita de la llum visible, i això que aquesta és de 0,0038 cm!

Fins aquí no sembla haver-hi cap problema, si volem mirar una cosa tan petita com és un electró utilitzem radiacions d’una longitud d’ona molt petita, com els raigs gamma. El problema és que una radiació electromagnètica és més energètica com menys longitud d’ona té, i en el cas dels raigs gamma tenen tant poca longitud d’ona que la seva energia és prou alta com per enviar el nostre electró a prendre vent. Us podríeu pensar que n’hi hauria prou en agafar molt poca llum, suficient per a veure l’electró però no per desviar-lo, el problema és que la llum està quantitzada, la mínima quantitat de llum que podem agafar és un fotó, i un sol fotó de radiació gamma té prou energia com per alterar la velocitat del nostre electró.

Si, en canvi, volguéssim saber la velocitat de l’electró podríem llençar-li una ona d’una longitud d’ona molt llarga, de manera que sigui poc energètica i no l’alteri. Però al usar una longitud d’ona tant llarga es generaria molta incertesa respecte a la ubicació de l’electró.

És a dir, com més sabem on està menys sabem a quina velocitat va, i viceversa.

Així doncs, no hi ha remei, és absolutament impossible que una partícula amb massa vagi o superi la velocitat de la llum i és igualment impossible de determinar la posició i la velocitat d’un electró amb una precisió arbitrària; i no és que no tinguem motors o microscopis prou bons, simplement són limitacions de la naturalesa, mai les podrem superar.

Com saber la hibridació d’una molècula

NOTA: Aquesta entrada no és una entrada comuna, si no heu arribat aquí buscant justament el què diu el títol segurament no us semblarà gens interessant. El cert és que faig aquesta entrada per a qui estigui en la mateixa situació que jo ahir: intentant entendre la geometria de les mol·lècules i la seva hibridació segons la Teoria de l’Enllaç de València.

La manera de fer-ho és molt més fàcil del què s’acostuma a ensenyar (fer configuracions electròniques, mirar si caben o no caben els electrons, si queda la molècula d’acord amb el fet experimental, etc.), la manera ràpida de mirar-ho es basa en l’anomenat nombre estèric.

El nombre estèric d’un àtom es defineix com a la suma dels àtoms amb que està enllaçat més el nombre de parells d’electrons lliures, tenint en compte que un electró desaparellat també compta com a 1.

Per exemple, el nombre estèric del N en l’amoníac és 4: 3 àtoms als quals està enllaçat més un parell d’electrons lliures.

El nombre estèric de l’oxigen a la mol·lècula d’aigua és 4: 2 àtoms als quals està enllaçat més dos parells d’electrons lliures.

Un cop es té el nombre estèric per saber la hibridació i per tant la geometria només cal conèixer la següent taula:

Seguim amb l’amoníac, si hem quedat que té nombre estèric 4 llavors la seva hibridació és sp3, fantàstic! L’amoníac presenta una forma tetrahèdrica. També funciona amb l’aigua, hem quedat que l’oxígen de l’aigua tenia nombre estèric 3, per tant fa hibridació sp2, fantàstic!

Per a que vegeu que això funciona sempre anem a fer una mol·lècula més divertida, la tetraciclina, un tipus d’antibiòtic:

Anem a mirar la hibridació del carboni 1. Té tres àtoms enllaçats i cap parell d’electrons lliures, per tant té nombre estèric 3, si mirem la taula veiem que té una hibridació sp2. (Pels 4 primers nombres estèrics va bé restar-ne un i ja es té el tipus d’hibridació).

Mirem el oxígen 2, té un àtom enllaçat i dos parells d’electrons lliures, té, per tant, nombre estèric 3. És a dir, fa hibridació sp2.

També podem mirar el nitrogen 1, té tres àtoms enllaçats (dos hidrògens i un carboni) i, a més, té un parell d’electrons lliures. Per tant té nombre estèric 4 i hibrida sp3.

Com veieu és un algorisme de molt fàcil execució, espero que us sigui útil!

Hi ha un límit de temperatura?

Fa un temps vaig escriure sobre la mínima temperatura assolible: -273,15°C. Aquesta temperatura la van descobrir Charles i Gay-Lussac amb els seus experiments amb gasos fa uns 200 anys, però per saber quina és la màxima temperatura aconseguible va fer falta l’arribada de la mecànica quàntica i la relativitat especial d’Einstein.

En primer lloc, quan diem que fa calor és que els mol·lècules del gas es mouen molt ràpidament, per exemple, si tinguéssim una mol·lècula d’oxígen sola en una habitació a 20°C es mouria a uns 480m/s, si escalféssim l’habitació fins als 1000°C es mouria a 990m/s.

Fins a l’arribada de la mecànica quàntica i la relativitat els científics es pensaven que la temperatura no tenia un límit superior. Però segons la relativitat especial d’Einstein, la velocitat màxima que pot assolir una partícula amb massa és de 300.000km/s. Això és així perquè segons la dilatació de la massa relativista, a mesura que una partícula augmenta la seva velocitat també augmenta la seva massa, i per passar de 299.999km/s a 300.000km/s l’energia necessària seria infinita.

Doncs bé, la temperatura màxima és aquella on les mol·lècules es mourien a la velocitat de la llum, de fet, si les partícules del gas es moguessin a aquesta velocitat cada una crearia el seu propi forat negre. Calcular aquesta temperatura no és trivial, concretament és de 5,18×10^29°C. Una temperatura molt difícil d’imaginar, més que res perquè no es pot expressar en camps de futbol.

D’altra banda, i pels que heu arribat aquí sabent una mica de tot això. Al calcular la temperatura màxima jo he comès un error que penso que és fàcil de cometre, es força conegut que a partir de la llei dels gasos ideals (PV=nRT) es dedueix que Ec(mitja)i=(3/2)*K*T. Doncs bé, no hem de caure en l’error d’aillar la temperatura en aquesta fórmula i posar una velocitat de 300.000.000m/s. Aquesta fórmula és molt vàlida per a velocitats baixes, però no contempla els efectes relativistes com l’augment de la massa, de manera que a velocitats altes falla i s’ha de trobar considerant els efectes relativistes.

La bella identitat d’Euler

La identitat d’Euler és una formula desenvolupada per Leonhard Euler i, en la meva opinió, és fascinant. Per sort no sóc l’únic boig, una enquesta a la revista Mathematical Intelligencer va considerar aquesta equació el teorema més bonic de les matemàtiques i el 2004 una altra enquesta a Physics World va considerar aquesta equació “la millor equació mai vista”, junt amb les equacions de Maxwell.

Però què té aquesta equació que la faci tant especial?

Doncs tot, ho té absolutament tot:

• Relaciona els cinc nombres més utilitzats en la història de les matemàtiques.
• Ens els mostra amb ordre històric de dreta a esquerra.
• Tres operacions aritmètiques hi apareixen alhora: la suma, la multiplicació i l’exponenciació.

En primer lloc, la identitat d’Euler és:

on:

• Pi és el nombre més important de la geometria.

• e és el nombre més important de l’anàlisi matemàtic.

• i és el nombre més important de l’àlgebra.

• 0 i 1 són les bases de l’aritmètica pel fet de ser els elements neutres de la suma i del producte.

Com veieu apareixen els cinc nombres més usats de les matemàtiques i tres operacions aritmètiques, però… on està el passeig del qual us parlava?

Doncs bé, començant per la dreta tenim un 1, el qual representa els nombres naturals (0,1,2,3…), coneguts des de la prehistòria per la seva utilitat per comptar.

A l’esquerra del 1 tenim un signe -, el qual representa l’aparició dels nombres negatius (…-3,-2,-1) que, junt amb els naturals, forma els enters.

A l’esquerra, saltant-nos els racionals, ens hi trobem e i pi que, dos irracionals que, junt amb els racionals d’abans representa els nombres reals.

Finalment, ens trobem amb la i, un nombre imaginari, obtenint junt amb els reals els nombres complexos.

Interessant equació